Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Заметим, что переменная $x$ находится в знаменателе, поэтому необходимо учесть область допустимых значений: $x \neq 0$.

Шаг 1. Введение новой переменной.
Уравнение имеет вид, удобный для замены переменной. Заметим, что в уравнении присутствуют выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^{2}}$. Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда $t^{2} = \left(\frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}}$.

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t^{2} - t - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$;
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Шаг 3. Обратная замена.
Вернёмся к переменной $x$, рассмотрев два случая:

1) Если $t = 3$, то $\frac{1}{x} = 3$.
Отсюда $x = \frac{1}{3}$.

2) Если $t = -2$, то $\frac{1}{x} = -2$.
Отсюда $x = -\frac{1}{2}$ (или $x = -0,5$).

Оба найденных значения удовлетворяют условию $x \neq 0$.

Ответ: -0,5; $\frac{1}{3}$.

Источник: ФИПИ