Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. При пересечении двух параллельных прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$ образуются равные соответственные углы: $\angle BMN = \angle BAC$. Аналогично, при секущей $BC$ равны соответственные углы $\angle BNM = \angle BCA$.

2) Так как два угла треугольника $MBN$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон: $\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4) Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Заметим, что сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BN$ и $NC$. Следовательно, $BC = BN + NC = x + 18$.

5) Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{11}{44} = \frac{x}{x + 18}$.

6) Сократим дробь в левой части уравнения: $\frac{1}{4} = \frac{x}{x + 18}$.

7) Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $1 \cdot (x + 18) = 4 \cdot x$, $x + 18 = 4x$.

8) Перенесем $x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $18 = 4x - x$, $18 = 3x$.

9) Найдем $x$: $x = 18 : 3$, $x = 6$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна $6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ