Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 24$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 16 и 12.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём $OK \perp AB$ и $OM \perp CD$ . По условию задачи $OK = 16$ , $OM = 12$ , $AB = 24$ .

2) Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OK$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $K$ делит хорду $AB$ пополам:
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ .

3) Из прямоугольного треугольника $AKO$ по теореме Пифагора найдём радиус окружности $R = OA$ :
$OA^2 = AK^2 + OK^2$
$OA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$OA = \sqrt{400} = 20$ .

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$ . Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 20$ . Высота $OM = 12$ является медианой, значит, $CM = MD$ .

5) Из прямоугольного треугольника $CMO$ по теореме Пифагора найдём отрезок $CM$ :
$CM^2 = OC^2 - OM^2$
$CM^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$CM = \sqrt{256} = 16$ .

6) Так как $M$ — середина $CD$ , то длина всей хорды $CD$ равна:
$CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 16 = 32$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ