Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём $OK \perp AB$ и $OM \perp CD$. По условию задачи $OK = 16$, $OM = 12$, $AB = 24$.

2) Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OK$, проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $K$ делит хорду $AB$ пополам:
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

3) Из прямоугольного треугольника $AKO$ по теореме Пифагора найдём радиус окружности $R = OA$:
$OA^2 = AK^2 + OK^2$
$OA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$OA = \sqrt{400} = 20$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$. Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 20$. Высота $OM = 12$ является медианой, значит, $CM = MD$.

5) Из прямоугольного треугольника $CMO$ по теореме Пифагора найдём отрезок $CM$:
$CM^2 = OC^2 - OM^2$
$CM^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$CM = \sqrt{256} = 16$.

6) Так как $M$ — середина $CD$, то длина всей хорды $CD$ равна:
$CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 16 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ