Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности, лежащий на стороне $AC$, а $R$ — её радиус. Так как окружность проходит через точку $C$, то отрезок $OC = R$. Обозначим точку пересечения окружности со стороной $AC$ (отличную от $C$) как точку $D$. Тогда $CD$ — диаметр окружности, и $CD = 2R$.

2. По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$. Согласно свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае касательная — это $AB$, а секущая — это $AC$. Внешняя часть секущей — это отрезок $AD$.

3. Запишем формулу: $AB^2 = AC \cdot AD$.
Подставим известные значения: $3^2 = 9 \cdot AD$.
Отсюда $9 = 9 \cdot AD$, следовательно, $AD = 1$.

4. Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $DC$:
$AC = AD + DC$.
Подставим известные величины: $9 = 1 + DC$.
Отсюда $DC = 9 - 1 = 8$.

5. Так как отрезок $DC$ является диаметром окружности (он проходит через центр $O$ и соединяет две точки окружности на прямой $AC$), то искомый диаметр равен 8.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ