Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 21$ , а гипотенуза $c = 75$ . Обозначим второй катет как $b$ , а высоту, проведённую к гипотенузе, как $h$ .

Шаг 1. Найдем второй катет треугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотензы ( $a^2 + b^2 = c^2$ ).
Отсюда $b^2 = c^2 - a^2$ .
Подставим значения:
$b^2 = 75^2 - 21^2$
Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ :
$b^2 = (75 - 21)(75 + 21) = 54 \cdot 96$
Разложим числа на множители, чтобы легче было извлечь корень:
$b^2 = (6 \cdot 9) \cdot (6 \cdot 16) = 6^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2$
$b = 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72$ .
Итак, второй катет равен $72$ .

Шаг 2. Найдем высоту, проведённую к гипотенузе.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1) Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
2) Как половину произведения гипотенузы на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Приравняем эти выражения: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$ .
Отсюда получаем формулу для высоты: $h = \frac{a \cdot b}{c}$ .

Шаг 3. Выполним вычисления.
$h = \frac{21 \cdot 72}{75}$
Сократим дробь на $3$ :
$h = \frac{7 \cdot 72}{25} = \frac{504}{25}$
Чтобы перевести в десятичную дробь, умножим числитель и знаменатель на $4$ :
$h = \frac{504 \cdot 4}{100} = \frac{2016}{100} = 20,16$ .

Ответ: 20,16

Источник: ФИПИ