Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 21$, а гипотенуза $c = 75$. Обозначим второй катет как $b$, а высоту, проведённую к гипотенузе, как $h$.

Шаг 1. Найдем второй катет треугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотензы ($a^2 + b^2 = c^2$).
Отсюда $b^2 = c^2 - a^2$.
Подставим значения:
$b^2 = 75^2 - 21^2$
Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$b^2 = (75 - 21)(75 + 21) = 54 \cdot 96$
Разложим числа на множители, чтобы легче было извлечь корень:
$b^2 = (6 \cdot 9) \cdot (6 \cdot 16) = 6^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2$
$b = 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72$.
Итак, второй катет равен $72$.

Шаг 2. Найдем высоту, проведённую к гипотенузе.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1) Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
2) Как половину произведения гипотенузы на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Приравняем эти выражения: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.
Отсюда получаем формулу для высоты: $h = \frac{a \cdot b}{c}$.

Шаг 3. Выполним вычисления.
$h = \frac{21 \cdot 72}{75}$
Сократим дробь на $3$:
$h = \frac{7 \cdot 72}{25} = \frac{504}{25}$
Чтобы перевести в десятичную дробь, умножим числитель и знаменатель на $4$:
$h = \frac{504 \cdot 4}{100} = \frac{2016}{100} = 20,16$.

Ответ: 20,16

Источник: ФИПИ