Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, по условию задачи, скорость второго автомобиля на второй половине пути составляет $v + 9$ км/ч. Обозначим всё расстояние между пунктами А и В за $2S$. Тогда половина пути равна $S$.

Составим выражение для времени движения каждого автомобиля:
1) Первый автомобиль проехал весь путь $2S$ со скоростью $v$. Время его в пути: $t_1 = \frac{2S}{v}$.
2) Второй автомобиль проехал первую половину пути $S$ со скоростью $30$ км/ч, а вторую половину $S$ — со скоростью $v + 9$. Общее время его в пути: $t_2 = \frac{S}{30} + \frac{S}{v + 9}$.

Так как автомобили выехали одновременно и прибыли в пункт В одновременно, их времена в пути равны. Составим уравнение:
$\frac{2S}{v} = \frac{S}{30} + \frac{S}{v + 9}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:
$\frac{2}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{v + 9}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $30(v + 9)$:
$\frac{2}{v} = \frac{v + 9 + 30}{30(v + 9)}$
$\frac{2}{v} = \frac{v + 39}{30v + 270}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (30v + 270) = v \cdot (v + 39)$
$60v + 540 = v^2 + 39v$

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$v^2 + 39v - 60v - 540 = 0$
$v^2 - 21v - 540 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Найдём корни уравнения:
$v_1 = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$v_2 = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как скорость автомобиля должна быть положительной величиной, корень $v_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $36$ км/ч.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ