Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть для определенности диагональ $AC = 60$. Тогда $AO = OC = 60 : 2 = 30$.

Расстояние от точки $O$ до стороны ромба — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на сторону. Проведем $OH \perp AD$, тогда по условию $OH = 15$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AO = 30$ и катет $OH = 15$.

Заметим, что катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $AO$ ($15 = 30 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба (угол $B$):
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ, 120^\circ.

Источник: ФИПИ