Геометрическая задача на вычисление · 142 задания
- Задание №23№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
- Задание №23№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
- Задание №23№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
- Задание №23№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
- Задание №23№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
- Задание №23№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
- Задание №23№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
- Задание №23№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
- Задание №23№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
- Задание №23№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
- Задание №23№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
- Задание №23№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
Решение
Решение.
Пусть ABCD — данный ромб, O — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны (AC⊥BD) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть для определенности диагональ AC=60. Тогда AO=OC=60:2=30.
Расстояние от точки O до стороны ромба — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону. Проведем OH⊥AD, тогда по условию OH=15.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH (угол H=90∘). В этом треугольнике нам известны гипотенуза AO=30 и катет OH=15.
Заметим, что катет OH в два раза меньше гипотенузы AO (15=30:2). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30∘. Следовательно, ∠OAH=30∘.
Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол A ромба в два раза больше угла OAH:
∠A=2⋅∠OAH=2⋅30∘=60∘.
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180∘. Найдем второй угол ромба (угол B):
∠B=180∘−∠A=180∘−60∘=120∘.
Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны 60∘,120∘,60∘,120∘.
Ответ: 60^\circ, 120^\circ.
Источник: ФИПИ