Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений: $\begin{cases} 5x^2 - 11x = y \\ 5x - 11 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравниваем левые части уравнений.
Так как в обоих уравнениях правые части равны $y$, мы можем приравнять их левые части друг к другу: $5x^2 - 11x = 5x - 11$

Шаг 2. Решаем полученное квадратное уравнение.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе знаки слагаемых меняются на противоположные: $5x^2 - 11x - 5x + 11 = 0$
Приведём подобные слагаемые: $5x^2 - 16x + 11 = 0$

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 11 = 256 - 220 = 36$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{16 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{22}{10} = 2,2$
$x_2 = \frac{16 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Шаг 3. Находим соответствующие значения $y$.
Для этого подставим найденные значения $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 5x - 11$:

1) Если $x_1 = 2,2$, то: $y_1 = 5 \cdot 2,2 - 11 = 11 - 11 = 0$

2) Если $x_2 = 1$, то: $y_2 = 5 \cdot 1 - 11 = 5 - 11 = -6$

Шаг 4. Записываем ответ.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2,2; 0)$ и $(1; -6)$.

Ответ: (1; -6), (2,2; 0)

Источник: ФИПИ