Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 18$ и $AD = 33$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на $AB$, а точка $F$ — на $CD$. По условию $CF : DF = 2 : 1$. Обозначим $DF = x$, тогда $CF = 2x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 2x + x = 3x$.

2) Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$, а основание $AD$ — в точке $M$.

3) Четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$ являются параллелограммами по определению (их противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel CM$). Из свойств параллелограмма следует, что $EK = BC = 18$ и $AM = BC = 18$.

4) Найдём отрезок $MD$: $MD = AD - AM = 33 - 18 = 15$.

5) Рассмотрим треугольник $CMD$. Отрезок $KF$ параллелен стороне $MD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $CKF$ подобен треугольнику $CMD$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$.

7) Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{KF}{15} = \frac{2x}{3x}$ $\frac{KF}{15} = \frac{2}{3}$ Отсюда находим $KF$: $KF = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10$.

8) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 18 + 10 = 28$.

Ответ: 28

Источник: ФИПИ