Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (доля кислоты в массе), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе. По условию задачи масса первого раствора составляет $22$ кг, а второго — $18$ кг.

1) Рассмотрим первый случай: растворы сливают вместе. Общая масса смеси составит $22 + 18 = 40$ кг. Содержание кислоты в первом растворе равно $22x$, во втором — $18y$. В полученном растворе концентрация кислоты равна $32\%$, то есть $0,32$. Составим уравнение по массе чистой кислоты:
$22x + 18y = 0,32 \cdot 40$
$22x + 18y = 12,8$

2) Рассмотрим второй случай: сливают равные массы растворов. Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора. Тогда масса смеси будет $2m$ кг. Содержание кислоты в этой смеси равно $mx + my$. По условию концентрация полученного раствора равна $30\%$, то есть $0,3$. Составим уравнение:
$mx + my = 0,3 \cdot 2m$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 0,6$

3) Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} 22x + 18y = 12,8 \\ x + y = 0,6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 0,6 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$22x + 18(0,6 - x) = 12,8$
$22x + 10,8 - 18x = 12,8$
$4x = 12,8 - 10,8$
$4x = 2$
$x = 0,5$

Таким образом, концентрация кислоты в первом растворе составляет $0,5$ (или $50\%$).

4) Найдём массу кислоты в первом растворе. Для этого умножим массу раствора на его концентрацию:
$22 \cdot 0,5 = 11$ (кг).

Ответ: 11

Источник: ФИПИ