Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD$, причём $BC = 21$, $AD = 35$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. По условию $CF : DF = 5 : 2$. Это значит, что если мы обозначим одну часть за $x$, то $CF = 5x$, а $DF = 2x$. Тогда вся боковая сторона $CD = CF + DF = 5x + 2x = 7x$.

2) Для решения проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$, где точка $G$ лежит на основании $AD$. Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$.

3) Четырёхугольники $ABCK$ и $ABGD$ не образуются напрямую, но рассмотрим фигуры $EBCK$ и $ABGC$. Так как $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$, то $EBCK$ и $ABGC$ — параллелограммы по определению. Следовательно, противоположные стороны равны: $EK = BC = 21$ и $AG = BC = 21$.

4) Найдём отрезок $GD$: $GD = AD - AG = 35 - 21 = 14$.

5) Рассмотрим треугольник $CDG$. В нём отрезок $KF$ параллелен стороне $GD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $CKF$ подобен треугольнику $CGD$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$. Подставим известные значения: $\frac{KF}{14} = \frac{5x}{7x}$. Сократим на $x$: $\frac{KF}{14} = \frac{5}{7}$.

7) Вычислим $KF$: $KF = \frac{14 \cdot 5}{7} = 2 \cdot 5 = 10$.

8) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 21 + 10 = 31$.

Ответ: 31

Источник: ФИПИ