Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 35$ , $B C = 21$ , $C F : D F = 5 : 2$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD$ , причём $BC = 21$ , $AD = 35$ . Прямая $EF$ параллельна основаниям, точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. По условию $CF : DF = 5 : 2$ . Это значит, что если мы обозначим одну часть за $x$ , то $CF = 5x$ , а $DF = 2x$ . Тогда вся боковая сторона $CD = CF + DF = 5x + 2x = 7x$ .

2) Для решения проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$ , где точка $G$ лежит на основании $AD$ . Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$ .

3) Четырёхугольники $ABCK$ и $ABGD$ не образуются напрямую, но рассмотрим фигуры $EBCK$ и $ABGC$ . Так как $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$ , то $EBCK$ и $ABGC$ — параллелограммы по определению. Следовательно, противоположные стороны равны: $EK = BC = 21$ и $AG = BC = 21$ .

4) Найдём отрезок $GD$ : $GD = AD - AG = 35 - 21 = 14$ .

5) Рассмотрим треугольник $CDG$ . В нём отрезок $KF$ параллелен стороне $GD$ (так как $EF \parallel AD$ ). Значит, треугольник $CKF$ подобен треугольнику $CGD$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$ . Подставим известные значения: $\frac{KF}{14} = \frac{5x}{7x}$ . Сократим на $x$ : $\frac{KF}{14} = \frac{5}{7}$ .

7) Вычислим $KF$ : $KF = \frac{14 \cdot 5}{7} = 2 \cdot 5 = 10$ .

8) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ : $EF = EK + KF = 21 + 10 = 31$ .

Ответ: 31

Источник: ФИПИ