Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 18$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 12 и 9.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$ . По условию задачи $OH = 12$ , $OK = 9$ , а хорда $AB = 18$ .

2. Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R = OA$ :
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
$OA^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Отсюда радиус $R = \sqrt{225} = 15$ .

4. Теперь рассмотрим хорду $CD$ . Проведём радиус $OC = R = 15$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$ (где $OK \perp CD$ ). По условию расстояние $OK = 9$ . По теореме Пифагора найдём отрезок $KC$ :
$KC^2 = OC^2 - OK^2$
$KC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$KC = \sqrt{144} = 12$ .

5. Так как перпендикуляр $OK$ , опущенный из центра на хорду $CD$ , также является медианой (треугольник $COD$ равнобедренный, так как $OC = OD = R$ ), то точка $K$ — середина $CD$ . Значит, вся хорда $CD$ в два раза больше отрезка $KC$ :
$CD = 2 \cdot KC = 2 \cdot 12 = 24$ .

Ответ: 24

Источник: ФИПИ