Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 18$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 12 и 9.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$ . По условию задачи $OH = 12$ , $OK = 9$ , а хорда $AB = 18$ .

2. Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R = OA$ :
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
$OA^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Отсюда радиус $R = \sqrt{225} = 15$ .

4. Теперь рассмотрим хорду $CD$ . Проведём радиус $OC = R = 15$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$ (где $OK \perp CD$ ). По условию расстояние $OK = 9$ . По теореме Пифагора найдём отрезок $KC$ :
$KC^2 = OC^2 - OK^2$
$KC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$KC = \sqrt{144} = 12$ .

5. Так как перпендикуляр $OK$ , опущенный из центра на хорду $CD$ , также является медианой (треугольник $COD$ равнобедренный, так как $OC = OD = R$ ), то точка $K$ — середина $CD$ . Значит, вся хорда $CD$ в два раза больше отрезка $KC$ :
$CD = 2 \cdot KC = 2 \cdot 12 = 24$ .

Ответ: 24

Источник: ФИПИ