Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. По условию задачи $OH = 12$, $OK = 9$, а хорда $AB = 18$.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$, проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R = OA$:
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
$OA^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Отсюда радиус $R = \sqrt{225} = 15$.

4. Теперь рассмотрим хорду $CD$. Проведём радиус $OC = R = 15$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$ (где $OK \perp CD$). По условию расстояние $OK = 9$. По теореме Пифагора найдём отрезок $KC$:
$KC^2 = OC^2 - OK^2$
$KC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$KC = \sqrt{144} = 12$.

5. Так как перпендикуляр $OK$, опущенный из центра на хорду $CD$, также является медианой (треугольник $COD$ равнобедренный, так как $OC = OD = R$), то точка $K$ — середина $CD$. Значит, вся хорда $CD$ в два раза больше отрезка $KC$:
$CD = 2 \cdot KC = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ