Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. У этих треугольников угол $B$ является общим.

2) Так как по условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$.

3) Из этого следует, что треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4) Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Тогда длина стороны $BC$ будет равна сумме отрезков $BN$ и $NC$: $BC = BN + NC = x + 22$.

5) Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{15}{25} = \frac{x}{x + 22}$.

6) Сократим дробь $\frac{15}{25}$ на $5$, получим $\frac{3}{5}$. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{3}{5} = \frac{x}{x + 22}$.

7) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $3 \cdot (x + 22) = 5 \cdot x$, $3x + 66 = 5x$, $5x - 3x = 66$, $2x = 66$, $x = 33$.

Таким образом, $BN = 33$.

Ответ: 33

Источник: ФИПИ