Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Рассмотрим углы $KBC$ и $KPC$:
$\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$.
Отсюда выразим угол $KPC$:
$\angle KPC = 180^\circ - \angle KBC$.

3. Заметим, что углы $KPC$ и $APK$ являются смежными, так как точка $P$ лежит на стороне $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:
$\angle APK + \angle KPC = 180^\circ$.
Следовательно, $\angle APK = 180^\circ - \angle KPC$.
Подставив выражение для $\angle KPC$ из предыдущего шага, получим:
$\angle APK = 180^\circ - (180^\circ - \angle KBC) = \angle KBC$.

4. Теперь рассмотрим два треугольника: большой $\triangle ABC$ и малый $\triangle AKP$.
У этих треугольников:
— Угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны по двум углам ($\triangle AKP \sim \triangle ABC$).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Важно правильно составить отношение сторон (напротив равных углов лежат сходственные стороны):
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$.

6. По условию задачи сторона $BC$ в $1,8$ раза меньше стороны $AB$. Это можно записать в виде отношения:
$\frac{AB}{BC} = 1,8$.
Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$.

7. Так как $\frac{AB}{BC} = 1,8$, то обратное отношение $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{1,8}$.
Подставим известные значения ($AP = 36$):
$KP = 36 \cdot \frac{1}{1,8} = \frac{36}{1,8} = \frac{360}{18} = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ