Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Рассмотрим углы $KBC$ и $KPC$:
$\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$.

3. Заметим, что угол $APK$ является смежным с углом $KPC$. По свойству смежных углов:
$\angle APK + \angle KPC = 180^{\circ}$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle APK = \angle KBC$.

4. Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AKP$ и $\triangle ACB$.
У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ($I$ признак подобия).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$.

6. По условию задачи сторона $AC$ в $1,6$ раза больше стороны $BC$. Это можно записать в виде уравнения:
$AC = 1,6 \cdot BC$.

7. Подставим это выражение и известное значение $AK = 16$ в нашу пропорцию:
$\frac{16}{1,6 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$.

8. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны треугольника не равна нулю):
$\frac{16}{1,6} = KP$.
Выполним деление:
$KP = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ