Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$, а $R$ — радиус этой окружности. Так как окружность проходит через точку $C$, то отрезок $OC = R$. По условию точка $O$ лежит на $AC$, значит, точка $A$ находится вне окружности (или на её границе), и мы можем выразить расстояние от точки $A$ до центра окружности: $AO = AC - OC = 12 - R$.

2. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

3. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABO$:
$AB^2 + BO^2 = AO^2$.
Подставим известные значения и выражения через $R$:
$9^2 + R^2 = (12 - R)^2$.

4. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$81 + R^2 = 144 - 24R + R^2$.

5. Перенесём слагаемые с $R$ в одну сторону, а числа в другую. Заметим, что $R^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожается:
$24R = 144 - 81$,
$24R = 63$.

6. Найдем радиус $R$:
$R = \frac{63}{24}$.
Сократим дробь на 3:
$R = \frac{21}{8} = 2,625$.

7. Нам необходимо найти диаметр окружности $D$. Диаметр в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot \frac{21}{8} = \frac{21}{4} = 5,25$.

Ответ: 5,25

Источник: ФИПИ