Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 9$ , $A C = 12$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$ , а $R$ — радиус этой окружности. Так как окружность проходит через точку $C$ , то отрезок $OC = R$ . По условию точка $O$ лежит на $AC$ , значит, точка $A$ находится вне окружности (или на её границе), и мы можем выразить расстояние от точки $A$ до центра окружности: $AO = AC - OC = 12 - R$ .

2. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B$ . По свойству касательной, радиус $OB$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ( $\angle ABO = 90^\circ$ ).

3. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABO$ :
$AB^2 + BO^2 = AO^2$ .
Подставим известные значения и выражения через $R$ :
$9^2 + R^2 = (12 - R)^2$ .

4. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$81 + R^2 = 144 - 24R + R^2$ .

5. Перенесём слагаемые с $R$ в одну сторону, а числа в другую. Заметим, что $R^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожается:
$24R = 144 - 81$ ,
$24R = 63$ .

6. Найдем радиус $R$ :
$R = \frac{63}{24}$ .
Сократим дробь на 3:
$R = \frac{21}{8} = 2,625$ .

7. Нам необходимо найти диаметр окружности $D$ . Диаметр в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot \frac{21}{8} = \frac{21}{4} = 5,25$ .

Ответ: 5,25

Источник: ФИПИ