Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A K = 7$ , а сторона $A C$ в 1,4 раза больше стороны $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Вспомним свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Рассмотрим углы $KBC$ и $KPC$ . Их сумма равна $180^{\circ}$ :
$\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

3. Углы $KPC$ и $APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ :
$\angle KPC + \angle APK = 180^{\circ}$ .

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle KBC = \angle APK$ . Аналогично можно доказать, что $\angle BCP = \angle AKP$ .

5. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $APK$ . У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABC$ и $APK$ подобны по двум углам ( $I$ признак подобия).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Важно правильно составить отношение сторон (напротив равных углов лежат соответствующие стороны):
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$ .

7. По условию задачи $AC = 1,4 \cdot BC$ . Подставим это выражение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{1,4 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$ .

8. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{1,4} = KP$ .

9. Подставим известное значение $AK = 7$ :
$KP = \frac{7}{1,4} = \frac{70}{14} = 5$ .

Ответ: 5

Источник: ФИПИ