Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Вспомним свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Рассмотрим углы $KBC$ и $KPC$. Их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$.

3. Углы $KPC$ и $APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$:
$\angle KPC + \angle APK = 180^{\circ}$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle KBC = \angle APK$. Аналогично можно доказать, что $\angle BCP = \angle AKP$.

5. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $APK$. У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABC$ и $APK$ подобны по двум углам ($I$ признак подобия).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Важно правильно составить отношение сторон (напротив равных углов лежат соответствующие стороны):
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$.

7. По условию задачи $AC = 1,4 \cdot BC$. Подставим это выражение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{1,4 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$.

8. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{1,4} = KP$.

9. Подставим известное значение $AK = 7$:
$KP = \frac{7}{1,4} = \frac{70}{14} = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ