Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A K = 7$ , а сторона $A C$ в 1,4 раза больше стороны $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Вспомним свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Рассмотрим углы $KBC$ и $KPC$ . Их сумма равна $180^{\circ}$ :
$\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

3. Углы $KPC$ и $APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ :
$\angle KPC + \angle APK = 180^{\circ}$ .

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle KBC = \angle APK$ . Аналогично можно доказать, что $\angle BCP = \angle AKP$ .

5. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $APK$ . У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABC$ и $APK$ подобны по двум углам ( $I$ признак подобия).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Важно правильно составить отношение сторон (напротив равных углов лежат соответствующие стороны):
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$ .

7. По условию задачи $AC = 1,4 \cdot BC$ . Подставим это выражение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{1,4 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$ .

8. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{1,4} = KP$ .

9. Подставим известное значение $AK = 7$ :
$KP = \frac{7}{1,4} = \frac{70}{14} = 5$ .

Ответ: 5

Источник: ФИПИ