Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат: $(x^2 - 16)^2 + (x^2 + x - 12)^2 = 0$.

Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. То есть $a^2 \ge 0$ для любого $a$.
Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: когда оба этих числа одновременно равны нулю.

Следовательно, наше уравнение равносильно системе из двух уравнений: $\begin{cases} x^2 - 16 = 0 \\ x^2 + x - 12 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Теперь решим второе уравнение системы:
$x^2 + x - 12 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x = \frac{-1 \pm 7}{2}$
$x_3 = \frac{6}{2} = 3$, $x_4 = \frac{-8}{2} = -4$.

Так как нам нужно, чтобы оба выражения обратились в ноль одновременно, мы должны найти общее решение (общий корень) для обоих уравнений.
Сравним корни:
Корни первого уравнения: $4$ и $-4$.
Корни второго уравнения: $3$ и $-4$.
Общим корнем является число $-4$.

Проверка:
При $x = -4$:
$((-4)^2 - 16)^2 + ((-4)^2 + (-4) - 12)^2 = (16 - 16)^2 + (16 - 4 - 12)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$.
Равенство верно.

Ответ: -4

Источник: ФИПИ