Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x + 2)^{2} = t$. Заметим, что так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то $t \geq 0$.

2. Подставим $t$ в исходное уравнение. Поскольку $(x + 2)^{4} = ((x + 2)^{2})^{2} = t^{2}$, уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^{2} - 4t - 5 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

4. Найдём корни для $t$:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

5. Проверим условие $t \geq 0$:
Значение $t_{2} = -1$ не удовлетворяет условию, так как квадрат числа не может быть равен $-1$. Следовательно, это значение не даёт решений для $x$.
Значение $t_{1} = 5$ подходит.

6. Вернёмся к замене для $t = 5$:
$(x + 2)^{2} = 5$
Из этого уравнения следует два случая:
а) $x + 2 = \sqrt{5}$, тогда $x_{1} = -2 + \sqrt{5}$
б) $x + 2 = -\sqrt{5}$, тогда $x_{2} = -2 - \sqrt{5}$

Ответ: $-2 - \sqrt{5}; -2 + \sqrt{5}$

Источник: ФИПИ