Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (2x - 8)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение:

$(x^{2})^{2} = (2x - 8)^{2}$

Если квадраты двух выражений равны, то сами выражения либо равны между собой, либо противоположны по знаку. Это следует из правила: если $a^{2} = b^{2}$, то $a = b$ или $a = -b$. Применим это правило к нашему уравнению:

1) $x^{2} = 2x - 8$
2) $x^{2} = -(2x - 8)$

Решим каждое из полученных уравнений по отдельности.

Рассмотрим первое уравнение:
$x^{2} - 2x + 8 = 0$
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$
Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим второе уравнение:
$x^{2} = -2x + 8$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} + 2x - 8 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $2$ и $-4$.

Ответ: -4; 2

Источник: ФИПИ