Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как высоты трапеции параллельны и заключены между параллельными основаниями, то $BH = CK$. Обозначим их длину за $h$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известен угол $BCD = 135^\circ$. Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Значит, угол $CDK = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

3. В прямоугольном треугольнике $CKD$ угол $KCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $CKD$ — равнобедренный, но для нахождения высоты нам удобнее воспользоваться определением синуса:
$CK = CD \cdot \sin(45^\circ)$
$h = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$). Нам известен угол $ABC = 60^\circ$. Аналогично предыдущему шагу, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180^\circ$, поэтому угол $BAH = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Однако, в трапеции углы при одном основании могут быть как острыми, так и тупыми. Исходя из условия, угол $ABC = 60^\circ$ — это угол при меньшем основании (так как он острый, а $BCD$ тупой). Тогда угол $A$ при большем основании равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Это означает, что высота $BH$ будет лежать вне трапеции или чертеж имеет иную конфигурацию.

5. Воспользуемся универсальным соотношением для высоты: $h = AB \cdot \sin(A)$. В любом треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и основанием (или его продолжением), высота равна произведению боковой стороны на синус угла при основании.
Угол при вершине $A$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Тогда $h = AB \cdot \sin(120^\circ)$.
Мы знаем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Подставим значение высоты $h = 12\sqrt{2}$ в уравнение:
$12\sqrt{2} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$AB = \frac{12\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

7. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{6}$.

Ответ: $8\sqrt{6}$

Источник: ФИПИ