Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию задачи $BH$ является диаметром окружности, а точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

2) Угол $B$ в треугольнике $ABC$ — прямой ($\angle ABC = 90^\circ$). Так как точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно, то угол $PBK$ также равен $90^\circ$.

3) Вспомним свойство вписанных углов: угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. В нашей задаче углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ опираются на диаметр $BH$, следовательно, $\angle BPH = 90^\circ$ и $\angle BKH = 90^\circ$.

4) Таким образом, в четырёхугольнике $PBKH$ три угла прямые ($\angle P = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle K = 90^\circ$). Это означает, что $PBKH$ является прямоугольником.

5) У прямоугольника диагонали равны. В прямоугольнике $PBKH$ диагоналями являются отрезки $BH$ и $PK$. Следовательно, $BH = PK$.

6) По условию задачи $PK = 11$. Значит, и длина высоты $BH$ также равна $11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ