Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$, то $BH = CK$. Обозначим их длину как $h$.

2) Рассмотрим углы при вершинах $B$ и $C$. По условию $\angle ABC = 30^\circ$ и $\angle BCD = 135^\circ$. Заметим, что в трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как это односторонние углы при параллельных прямых (основаниях).
Следовательно, $\angle D = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Аналогично, $\angle A = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Однако, для решения нам удобнее рассмотреть прямоугольные треугольники, образованные высотами.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\angle CKD = 90^\circ$). В нём гипотенуза $CD = 29$, а угол $D = 45^\circ$.
Используя определение синуса: $\sin D = \frac{CK}{CD}$.
Отсюда $h = CK = CD \cdot \sin 45^\circ = 29 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике высота $BH = h = \frac{29\sqrt{2}}{2}$.
Нам нужно найти гипотенузу $AB$. Угол $A$ в этом треугольнике равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (если рассматривать внешний угол при вершине $A$ или просто использовать свойство углов при параллельных прямых).
Однако, проще заметить, что в прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит против угла $A$. Но постойте, если $\angle ABC = 30^\circ$, то это тупой угол при основании $BC$. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, если $\angle ABC = 30^\circ$, это означает, что трапеция "наклонная".

5) Пересчитаем углы внутри треугольников. Проведём высоты $BH$ и $CK$ к прямой, содержащей основание $AD$.
В прямоугольном треугольнике $CKD$: $CK = CD \cdot \sin(180^\circ - 135^\circ) = 29 \cdot \sin 45^\circ = \frac{29\sqrt{2}}{2}$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$: $BH = AB \cdot \sin(180^\circ - 30^\circ)$ — это неверно, так как угол $ABC$ — это угол при меньшем основании.
Правильно: $\angle ABH = \angle ABC - 90^\circ = 30^\circ - 90^\circ$ — невозможно. Значит, высота $BH$ лежит внутри или вне фигуры иначе.
Воспользуемся универсальным свойством: $BH = AB \cdot \sin(180^\circ - \angle ABC)$.
$h = AB \cdot \sin(180^\circ - 30^\circ) = AB \cdot \sin 150^\circ$.
Так как $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$h = AB \cdot \frac{1}{2}$.

6) Приравняем значения высоты $h$, полученные из двух треугольников:
$\frac{1}{2} \cdot AB = \frac{29\sqrt{2}}{2}$.
Умножим обе части уравнения на $2$:
$AB = 29\sqrt{2}$.

Ответ: $29\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ