Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу и уравнение, основываясь на взаимосвязи пути, скорости и времени: $S = v \cdot t$.

Шаг 1: Введение переменной.
Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (того, кто приехал позже).
Тогда скорость первого велосипедиста равна $x + 6$ км/ч (так как он едет на 6 км/ч быстрее).

Шаг 2: Выражение времени.
Оба велосипедиста проехали дистанцию $S = 140$ км.
Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{140}{x}$ ч.
Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{140}{x + 6}$ ч.

Шаг 3: Составление уравнения.
По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на 3 часа:
$t_2 - t_1 = 3$
$\frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3$

Шаг 4: Решение уравнения.
Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 6)$:
$\frac{140(x + 6) - 140x}{x(x + 6)} = 3$
$\frac{140x + 840 - 140x}{x^2 + 6x} = 3$
$\frac{840}{x^2 + 6x} = 3$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения расчётов:
$\frac{280}{x^2 + 6x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 6x - 280 = 0$

Шаг 5: Нахождение корней.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-6 - 34}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Шаг 6: Интерпретация результата.
Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ