Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты в во втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $30x$ кг, а во втором — $42y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
По условию, если слить оба раствора вместе, общая масса смеси составит $30 + 42 = 72$ кг. Концентрация этой смеси равна $40\%$, то есть $0,4$. Масса кислоты в смеси равна сумме масс кислот в исходных растворах:
$30x + 42y = 0,4 \cdot 72$
$30x + 42y = 28,8$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Если слить равные массы растворов (пусть масса каждого будет $m$ кг), то общая масса смеси составит $2m$ кг. Концентрация такой смеси равна $37\%$, то есть $0,37$.
Масса кислоты в этой смеси: $m \cdot x + m \cdot y = 0,37 \cdot 2m$.
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 0,37 \cdot 2$
$x + y = 0,74$

Шаг 3. Решим систему уравнений.
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 0,74 - y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$30(0,74 - y) + 42y = 28,8$
Раскроем скобки:
$22,2 - 30y + 42y = 28,8$
Приведем подобные слагаемые:
$12y = 28,8 - 22,2$
$12y = 6,6$
$y = 6,6 : 12$
$y = 0,55$

Шаг 4. Найдем массу кислоты во втором растворе.
Концентрация второго раствора $y = 0,55$ (или $55\%$).
Масса кислоты во втором сосуде: $42 \cdot y = 42 \cdot 0,55 = 23,1$ кг.

Ответ: 23,1

Источник: ФИПИ