Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

2) Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle DAK$ (по определению биссектрисы) и $\angle DAK = \angle BKA$ (как накрест лежащие). Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4) В треугольнике $ABK$ два угла равны, значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны, поэтому $AB = BK$. По условию $BK = 11$, следовательно, $AB = 11$.

5) Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 11$ и $CK = 20$. Тогда $BC = BK + CK = 11 + 20 = 31$.

6) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 11$ и $BC = AD = 31$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AB + BC)$.

7) Подставим значения: $P = 2 \cdot (11 + 31) = 2 \cdot 42 = 84$.

Ответ: 84

Источник: ФИПИ