Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для нахождения средней скорости автомобиля на всём пути нельзя просто найти среднее арифметическое скоростей. Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{cp} = \frac{S_{весь}}{t_{все}}$, где $S_{весь}$ — длина всего пути, а $t_{все}$ — общее время в пути.

1) Пусть весь путь автомобиля равен $S$. Тогда первая половина пути составляет $\frac{S}{2}$, и вторая половина пути также составляет $\frac{S}{2}$.

2) Найдём время, затраченное на первую половину пути. Так как скорость на этом участке была $v_1 = 55$ км/ч, то время $t_1$ равно:
$t_1 = \frac{S/2}{55} = \frac{S}{110}$ (ч).

3) Найдём время, затраченное на вторую половину пути. Так как скорость на этом участке была $v_2 = 70$ км/ч, то время $t_2$ равно:
$t_2 = \frac{S/2}{70} = \frac{S}{140}$ (ч).

4) Найдём общее время в пути $t_{все} = t_1 + t_2$. Для этого сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю (общий знаменатель для $110$ и $140$ равен $770$):
$t_{все} = \frac{S}{110} + \frac{S}{140} = \frac{7S + 5.5S}{770}$ — или, используя множители $110 = 10 \cdot 11$ и $140 = 10 \cdot 14$, общий знаменатель $10 \cdot 11 \cdot 14 = 1540$:
$t_{все} = \frac{14S + 11S}{1540} = \frac{25S}{1540} = \frac{5S}{308}$ (ч).

5) Теперь вычислим среднюю скорость, разделив весь путь $S$ на общее время $t_{все}$:
$v_{cp} = \frac{S}{\frac{5S}{308}} = S \cdot \frac{308}{5S} = \frac{308}{5}$.

6) Выполним деление:
$308 : 5 = 61,6$ (км/ч).

Ответ: 61,6

Источник: ФИПИ