Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Заметим, что выражение в скобках в левой части уравнения $x^2 + 6x + 9$ представляет собой квадрат суммы. Применим формулу сокращённого умножения $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$:
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.
Теперь перепишем исходное уравнение с учётом этого преобразования:
$x(x + 3)^2 = 4(x + 3)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$x(x + 3)^2 - 4(x + 3) = 0$.

3. Мы видим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3)(x(x + 3) - 4) = 0$.
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(x + 3)(x^2 + 3x - 4) = 0$.

4. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Перейдём к совокупности двух уравнений:
1) $x + 3 = 0$
2) $x^2 + 3x - 4 = 0$

5. Решим первое уравнение:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$.

6. Решим второе (квадратное) уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдём корни:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_3 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-4$, $-3$ и $1$.

Ответ: -4; -3; 1.

Источник: ФИПИ