Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ литров в минуту — скорость, с которой первая труба пропускает воду (её производительность). Тогда, согласно условию, вторая труба пропускает на 6 литров в минуту больше, то есть её производительность равна $x + 6$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 140 литров. Вспомним формулу времени: $t = \frac{V}{v}$, где $V$ — объём, а $v$ — скорость (производительность).

1) Время, за которое первая труба заполнит резервуар, равно $\frac{140}{x}$ минут.
2) Время, за которое вторая труба заполнит резервуар, равно $\frac{140}{x + 6}$ минут.

По условию задачи первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Составим уравнение:
$\frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 6)$:
$\frac{140(x + 6) - 140x}{x(x + 6)} = 3$
$\frac{140x + 840 - 140x}{x^2 + 6x} = 3$
$\frac{840}{x^2 + 6x} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{280}{x^2 + 6x} = 1$
$x^2 + 6x = 280$
$x^2 + 6x - 280 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-6 - 34}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Значит, первая труба пропускает 14 литров воды в минуту.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ