Задание №23 — Геометрия

#48112Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 11$ , $D C = 55$ , $A C = 30$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны ( $AB \parallel DC$ ).

2. При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ . Аналогично, при секущей $BD$ равны накрест лежащие углы $\angle ABM = \angle CDM$ .

3. Следовательно, треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

5. Пусть длина отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию вся длина отрезка $AC = 30$ , то длина отрезка $AM$ может быть выражена как $AM = AC - MC = 30 - x$ .

6. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{11}{55} = \frac{30 - x}{x}$ .

7. Сократим дробь в левой части уравнения:
$\frac{1}{5} = \frac{30 - x}{x}$ .

8. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 5 \cdot (30 - x)$
$x = 150 - 5x$
$x + 5x = 150$
$6x = 150$
$x = 150 : 6$
$x = 25$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна 25.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ