Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. Так как $AD$ и $BC$ — основания трапеции, они параллельны. Углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Это значит, что:
$\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$,
$\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3. Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $FAB$ и $FBA$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$.
Подставим значение суммы углов $A$ и $B$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Теперь найдем третий угол треугольника $ABF$:
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5. В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения:
$AB^2 = 24^2 + 18^2$,
$AB^2 = 576 + 324$,
$AB^2 = 900$.
Отсюда $AB = \sqrt{900} = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ