Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 1)^2 - \sqrt{2}(x - 1) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 1) \cdot ((x - 1) - \sqrt{2}) < 0$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$;
2) $x - 1 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Шаг 4. Метод интервалов.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут "выколотыми" (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 1)$
2) $(1; 1 + \sqrt{2})$
3) $(1 + \sqrt{2}; +\infty)$

Определим знак выражения $(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2})$ на каждом интервале:
— Возьмём $x = 0$ из первого интервала: $(0-1)(0-1-\sqrt{2}) = (-1) \cdot (-1-\sqrt{2}) > 0$. Знак "+".
— Возьмём $x = 2$ из второго интервала (так как $\sqrt{2} \approx 1,4$, то $1 + \sqrt{2} \approx 2,4$): $(2-1)(2-1-\sqrt{2}) = 1 \cdot (1-\sqrt{2}) < 0$. Знак "-".
— Возьмём $x = 3$ из третьего интервала: $(3-1)(3-1-\sqrt{2}) = 2 \cdot (2-\sqrt{2}) > 0$. Знак "+".

Шаг 5. Выбор нужного промежутка.
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля (знак "-"). Это соответствует интервалу $(1; 1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(1; 1 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ