Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 11)^2 < \sqrt{11}(x - 11)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну сторону.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую, чтобы справа остался ноль. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный:
$(x - 11)^2 - \sqrt{11}(x - 11) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части неравенства есть общий множитель $(x - 11)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 11) \cdot ( (x - 11) - \sqrt{11} ) < 0$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x - 11)(x - 11 - \sqrt{11}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 11)(x - 11 - \sqrt{11}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 11 = 0 \Rightarrow x_1 = 11$;
2) $x - 11 - \sqrt{11} = 0 \Rightarrow x_2 = 11 + \sqrt{11}$.

Шаг 4. Решение методом интервалов.
Отметим полученные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут "выколотыми" (пустыми). Эти точки разбивают ось на три интервала:
1) $(-\infty; 11)$
2) $(11; 11 + \sqrt{11})$
3) $(11 + \sqrt{11}; +\infty)$
Определим знак выражения $(x - 11)(x - 11 - \sqrt{11})$ на каждом интервале. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, знаки распределяются так: "плюс", "минус", "плюс".

Нам нужно найти промежуток, где выражение меньше нуля (знак "минус"). Это интервал между корнями:
$11 < x < 11 + \sqrt{11}$.

Ответ: $(11; 11 + \sqrt{11})$

Источник: ФИПИ