Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. При пересечении двух параллельных прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$ образуются равные соответственные углы: $\angle BMN = \angle BAC$. Аналогично, при пересечении секущей $BC$ получаем $\angle BNM = \angle BCA$.

2. Так как два угла треугольника $MBN$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ за $x$. Отрезок $BC$ состоит из двух частей: $BN$ и $NC$. Следовательно, его длина равна:
$BC = BN + NC = x + 15$.

5. Подставим известные значения ($MN = 16$, $AC = 20$) и наше выражение для $BC$ в пропорцию:
$\frac{16}{20} = \frac{x}{x + 15}$.

6. Сократим дробь в левой части уравнения на $4$:
$\frac{4}{5} = \frac{x}{x + 15}$.

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot (x + 15) = 5 \cdot x$;
$4x + 60 = 5x$;
$5x - 4x = 60$;
$x = 60$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна $60$.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ