Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + 4y^2 = 24 \\ 4x^2 + 8y^2 = 24x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование первого уравнения.
Заметим, что в левой части второго уравнения выражения $4x^2$ и $8y^2$ ровно в два раза больше, чем соответствующие слагаемые в первом уравнении. Чтобы упростить систему, умножим обе части первого уравнения на $2$:
$2 \cdot (2x^2 + 4y^2) = 2 \cdot 24$
$4x^2 + 8y^2 = 48$

Шаг 2. Использование метода подстановки (или сравнения).
Теперь наша система выглядит так:
$\begin{cases} 4x^2 + 8y^2 = 48 \\ 4x^2 + 8y^2 = 24x \end{cases}$
Так как левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$24x = 48$

Шаг 3. Нахождение значения $x$.
Разделим обе части уравнения на $24$:
$x = \frac{48}{24}$
$x = 2$

Шаг 4. Нахождение значения $y$.
Подставим найденное значение $x = 2$ в самое первое уравнение системы ($2x^2 + 4y^2 = 24$):
$2 \cdot 2^2 + 4y^2 = 24$
$2 \cdot 4 + 4y^2 = 24$
$8 + 4y^2 = 24$
Перенесем $8$ в правую часть:
$4y^2 = 24 - 8$
$4y^2 = 16$
Разделим на $4$:
$y^2 = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 2$
$y_2 = -2$

Шаг 5. Запись пар решений.
Мы получили, что при $x = 2$ переменная $y$ может принимать значения $2$ и $-2$. Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(2; 2)$ и $(2; -2)$.

Ответ: (2; 2), (2; -2)

Источник: ФИПИ