Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A C B$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} C B_{1}$ и $A C B$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . Поскольку угол $ACB$ тупой, основания высот $A_1$ и $B_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Углы $AA_1C$ и $BB_1C$ прямые (равны $90^\circ$ ), так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты.

2. В треугольниках $AA_1C$ и $BB_1C$ углы при вершине $C$ (углы $A_1CA$ и $B_1CB$ ) являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ . Следовательно, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

3. Из подобия треугольников $AA_1C$ и $BB_1C$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$ .

4. Перепишем это отношение в другом виде, поменяв местами средние члены пропорции:
$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ .

5. Теперь рассмотрим треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ . У них:
— угол $A_1CB_1$ равен углу $ACB$ (как вертикальные);
— стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ (доказано в пункте 4).

6. Таким образом, треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ