Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A C B$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} C B_{1}$ и $A C B$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . Поскольку угол $ACB$ тупой, основания высот $A_1$ и $B_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Углы $AA_1C$ и $BB_1C$ прямые (равны $90^\circ$ ), так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты.

2. В треугольниках $AA_1C$ и $BB_1C$ углы при вершине $C$ (углы $A_1CA$ и $B_1CB$ ) являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ . Следовательно, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

3. Из подобия треугольников $AA_1C$ и $BB_1C$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$ .

4. Перепишем это отношение в другом виде, поменяв местами средние члены пропорции:
$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ .

5. Теперь рассмотрим треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ . У них:
— угол $A_1CB_1$ равен углу $ACB$ (как вертикальные);
— стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ (доказано в пункте 4).

6. Таким образом, треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ