Задание №24 — Геометрия

#48120Задание №24ФИПИ

Треугольник

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A C B$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} C B_{1}$ и $A C B$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . Поскольку угол $ACB$ тупой, основания высот $A_1$ и $B_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Углы $AA_1C$ и $BB_1C$ прямые (равны $90^\circ$ ), так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты.

2. В треугольниках $AA_1C$ и $BB_1C$ углы при вершине $C$ (углы $A_1CA$ и $B_1CB$ ) являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ . Следовательно, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

3. Из подобия треугольников $AA_1C$ и $BB_1C$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$ .

4. Перепишем это отношение в другом виде, поменяв местами средние члены пропорции:
$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ .

5. Теперь рассмотрим треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ . У них:
— угол $A_1CB_1$ равен углу $ACB$ (как вертикальные);
— стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ (доказано в пункте 4).

6. Таким образом, треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ