Задание №23 — Геометрия

#48121Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 10$ , $D C = 25$ , $A C = 56$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию прямые $AB$ и $DC$ параллельны. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$ образуются накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ . Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) являются вертикальными, а значит, они равны.

2. Так как два угла треугольника $ABM$ соответственно равны двум углам треугольника $CDM$ , эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

4. Нам известно, что $AC = 56$ . Пусть искомый отрезок $MC = x$ . Тогда отрезок $AM$ можно выразить как разность всей диагонали и её части: $AM = AC - MC = 56 - x$ .

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{10}{25} = \frac{56 - x}{x}$ .

6. Сократим дробь в левой части уравнения на $5$ :
$\frac{2}{5} = \frac{56 - x}{x}$ .

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot x = 5 \cdot (56 - x)$
$2x = 280 - 5x$
$2x + 5x = 280$
$7x = 280$
$x = 280 : 7$
$x = 40$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $40$ .

Ответ: 40

Источник: ФИПИ