Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, так как скорость первого автомобиля на $20$ км/ч больше скорости второго, скорость второго автомобиля будет равна $(x - 20)$ км/ч.

По условию задачи оба автомобиля проехали расстояние $S = 240$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное первым автомобилем: $t_1 = \frac{240}{x}$ ч.
Время, затраченное вторым автомобилем: $t_2 = \frac{240}{x - 20}$ ч.

Известно, что первый автомобиль прибыл к финишу на $1$ час раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на $1$ час. Составим уравнение:
$\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$:
$\frac{240x - 240(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$
$\frac{240x - 240x + 4800}{x^2 - 20x} = 1$
$\frac{4800}{x^2 - 20x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 20$):
$x^2 - 20x = 4800$
$x^2 - 20x - 4800 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $80$ км/ч.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ