Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Заметим, что в знаменателях дробей стоит выражение $x - 3$. Чтобы упростить решение, воспользуемся методом введения новой переменной.

1. Введём замену. Пусть $t = \frac{1}{x - 3}$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^{2} - 3t - 4 = 0$

2. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём корни с помощью дискриминанта $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$;
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

3. Вернёмся к исходной переменной $x$. Для этого рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 4$
$\frac{1}{x - 3} = 4$
По свойству пропорции (или умножив обе части на $x - 3$, при условии $x \neq 3$):
$1 = 4(x - 3)$
$1 = 4x - 12$
$4x = 13$
$x = \frac{13}{4} = 3,25$

Случай 2: $t = -1$
$\frac{1}{x - 3} = -1$
$1 = -1(x - 3)$
$1 = -x + 3$
$x = 3 - 1$
$x = 2$

4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Оба найденных корня ($3,25$ и $2$) удовлетворяют этому условию.

Ответ: 2; 3,25

Источник: ФИПИ