Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим трапецию $ABCD$. По условию нам даны углы при верхнем основании: $\angle ABC = 60^{\circ}$ и $\angle BCD = 150^{\circ}$. Также известна боковая сторона $CD = 33$.

2) В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, так как эти углы являются односторонними при параллельных прямых (основаниях трапеции) и секущей (боковой стороне).
Найдём угол $D$:
$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
Найдём угол $A$:
$\angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

3) Для решения задачи проведём две высоты из вершин верхнего основания к нижнему: $BH$ и $CK$. Так как высоты перпендикулярны основаниям, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Отрезки $BH$ и $CK$ равны между собой как высоты трапеции.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\angle CKD = 90^{\circ}$). В нём гипотенуза $CD = 33$, а угол $D = 30^{\circ}$.
По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $CK = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 33 = 16,5$.
Так как $BH = CK$, то высота $BH = 16,5$.

5) Теперь рассмотрим треугольник $ABH$. Поскольку $\angle DAB = 120^{\circ}$, а $BH$ — высота, проведённая к прямой $AD$, точка $H$ будет лежать на продолжении основания $AD$ за точку $A$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB = 90^{\circ}$) угол $\angle BAH$ является смежным с углом $DAB$.
$\angle BAH = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
(Заметим, что этот же угол можно найти быстрее: $\angle BAH = \angle ABC - 90^{\circ}$ в зависимости от чертежа, но через смежные углы рассуждение универсально).

6) В прямоугольном треугольнике $ABH$ нам известен катет $BH = 16,5$ и угол $\angle BAH = 60^{\circ}$. Найдём гипотенузу $AB$ через синус угла:
$\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$
$\sin(60^{\circ}) = \frac{16,5}{AB}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16,5}{AB}$
$AB = \frac{16,5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{33}{\sqrt{3}}$.

7) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{33\sqrt{3}}{3} = 11\sqrt{3}$.

Ответ: $11\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ