Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 15$ и $b = 36$. Обозначим гипотенузу как $c$, а высоту, проведённую к ней, как $h$.

Шаг 1. Найдём гипотенузу треугольника.
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$c^2 = a^2 + b^2$
Подставим значения катетов:
$c^2 = 15^2 + 36^2$
$c^2 = 225 + 1296$
$c^2 = 1521$
Извлечём корень: $c = \sqrt{1521} = 39$.

Шаг 2. Воспользуемся формулой площади треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1) Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
2) Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Приравняем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Отсюда следует, что произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту:
$a \cdot b = c \cdot h$

Шаг 3. Вычислим высоту.
Выразим высоту $h$:
$h = \frac{a \cdot b}{c}$
Подставим известные значения:
$h = \frac{15 \cdot 36}{39}$
Сократим дробь на 3:
$h = \frac{15 \cdot 12}{13} = \frac{180}{13}$

Переведём в смешанное число или десятичную дробь (если требуется). В данном случае оставим в виде неправильной дроби или выделим целую часть:
$180 : 13 = 13$ (остаток $11$), то есть $h = 13\frac{11}{13}$.

Ответ: $13\frac{11}{13}$

Источник: ФИПИ