Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым.

$(x^{3} + 4x^{2}) + (-9x - 36) = 0$

Шаг 1. Вынесение общих множителей за скобки.
В первой паре слагаемых общим множителем является $x^{2}$. Вынесем его:
$x^{2}(x + 4)$
Во второй паре слагаемых общим множителем является $-9$. Вынесем его:
$-9(x + 4)$

Теперь наше уравнение выглядит так:
$x^{2}(x + 4) - 9(x + 4) = 0$

Шаг 2. Вынесение общего многочлена.
Заметим, что теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^{2} - 9) = 0$

Шаг 3. Применение формулы разности квадратов.
Выражение во второй скобке $x^{2} - 9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, так как $9 = 3^{2}$:
$(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$

Шаг 4. Решение простейших уравнений.
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = -4$
2) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_{2} = 3$
3) $x + 3 = 0 \Rightarrow x_{3} = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -4; -3; 3

Источник: ФИПИ