Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть длина стороны $BC$ равна $x$. По условию задачи сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$, следовательно, $AB = 2x$.

2. Точка $L$ является серединой стороны $AB$. Значит, отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и составляют половину стороны $AB$:
$AL = LB = \frac{AB}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

3. Рассмотрим треугольник $BCO$. Ой, простите, треугольник $BCL$. В этом треугольнике мы получили, что $BC = x$ и $BL = x$. Так как две его стороны равны ($BC = BL$), треугольник $BCL$ является равнобедренным с основанием $CL$.

4. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BCL = \angle BLC$.

5. Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Прямая $CL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Углы $\angle BLC$ и $\angle LCD$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BLC = \angle LCD$.

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle BCL = \angle BLC$.
Из пункта 5: $\angle BLC = \angle LCD$.
Отсюда следует, что $\angle BCL = \angle LCD$.

7. Так как луч $CL$ делит угол $BCD$ на два равных угла ($\angle BCL$ и $\angle LCD$), то по определению $CL$ является биссектрисой угла $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ