Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A B$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $B C$ .
Точка $L$ $—$ середина стороны $A B$ . Докажите, что $C L$ $—$ биссектриса
угла $B C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть длина стороны $BC$ равна $x$ . По условию задачи сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$ , следовательно, $AB = 2x$ .

2. Точка $L$ является серединой стороны $AB$ . Значит, отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и составляют половину стороны $AB$ :
$AL = LB = \frac{AB}{2} = \frac{2x}{2} = x$ .

3. Рассмотрим треугольник $BCO$ . Ой, простите, треугольник $BCL$ . В этом треугольнике мы получили, что $BC = x$ и $BL = x$ . Так как две его стороны равны ( $BC = BL$ ), треугольник $BCL$ является равнобедренным с основанием $CL$ .

4. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BCL = \angle BLC$ .

5. Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Прямая $CL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$ . Углы $\angle BLC$ и $\angle LCD$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BLC = \angle LCD$ .

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle BCL = \angle BLC$ .
Из пункта 5: $\angle BLC = \angle LCD$ .
Отсюда следует, что $\angle BCL = \angle LCD$ .

7. Так как луч $CL$ делит угол $BCD$ на два равных угла ( $\angle BCL$ и $\angle LCD$ ), то по определению $CL$ является биссектрисой угла $BCD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ