Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A B$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $B C$ .
Точка $L$ $—$ середина стороны $A B$ . Докажите, что $C L$ $—$ биссектриса
угла $B C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть длина стороны $BC$ равна $x$ . По условию задачи сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$ , следовательно, $AB = 2x$ .

2. Точка $L$ является серединой стороны $AB$ . Значит, отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и составляют половину стороны $AB$ :
$AL = LB = \frac{AB}{2} = \frac{2x}{2} = x$ .

3. Рассмотрим треугольник $BCO$ . Ой, простите, треугольник $BCL$ . В этом треугольнике мы получили, что $BC = x$ и $BL = x$ . Так как две его стороны равны ( $BC = BL$ ), треугольник $BCL$ является равнобедренным с основанием $CL$ .

4. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BCL = \angle BLC$ .

5. Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Прямая $CL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$ . Углы $\angle BLC$ и $\angle LCD$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BLC = \angle LCD$ .

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle BCL = \angle BLC$ .
Из пункта 5: $\angle BLC = \angle LCD$ .
Отсюда следует, что $\angle BCL = \angle LCD$ .

7. Так как луч $CL$ делит угол $BCD$ на два равных угла ( $\angle BCL$ и $\angle LCD$ ), то по определению $CL$ является биссектрисой угла $BCD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ