Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи $OH = 12$. Пусть диагональ $AC = 48$.

1) Вспомним свойства ромба: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ — прямоугольный (угол $AOB = 90^\circ$), а отрезок $AO = AC : 2 = 48 : 2 = 24$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $AHO = 90^\circ$, так как $OH$ — расстояние, то есть перпендикуляр). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AO = 24$ и катет $OH = 12$.

3) Заметим, что катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $AO$ ($12 = 24 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle OAH = 30^\circ$.

4) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $DAB = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

5) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, второй угол ромба $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60; 120.

Источник: ФИПИ