Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $x > 40$.
Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $\frac{S}{x}$ часов.

Второй автомобиль проехал первую половину пути ($\frac{S}{2}$) со скоростью $x - 9$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2(x - 9)}$ часов.
Вторую половину пути ($\frac{S}{2}$) он проехал со скоростью $60$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2 \cdot 60} = \frac{S}{120}$ часов.

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, составим уравнение, приравняв время первого автомобиля к суммарному времени второго автомобиля:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 9)} + \frac{S}{120}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (так как $S \neq 0$):
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 9)} + \frac{1}{120}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $120(x - 9)$:
$\frac{1}{x} = \frac{60 + (x - 9)}{120(x - 9)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x + 51}{120(x - 9)}$

Используя свойство пропорции, перейдём к квадратному уравнению:
$120(x - 9) = x(x + 51)$
$120x - 1080 = x^2 + 51x$
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
$x^2 + 51x - 120x + 1080 = 0$
$x^2 - 69x + 1080 = 0$

Найдём дискриминант уравнения:
$D = (-69)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 4761 - 4320 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{69 + 21}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$x_2 = \frac{69 - 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $40$ км/ч. Следовательно, корень $x_2 = 24$ не подходит по условию. Нам подходит только $x_1 = 45$.

Ответ: 45 км/ч

Источник: ФИПИ