Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость лодки). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $(x + 4)$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $(x - 4)$ км/ч.

Лодка прошла $221$ км в каждую сторону. Выразим время, затраченное на каждый участок пути:
— Время на путь против течения: $t_1 = \frac{221}{x - 4}$ ч.
— Время на путь по течению (обратный путь): $t_2 = \frac{221}{x + 4}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $2$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{221}{x - 4} - \frac{221}{x + 4} = 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 4)(x + 4)$:
$\frac{221(x + 4) - 221(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 2$
$\frac{221x + 884 - 221x + 884}{x^2 - 16} = 2$
$\frac{1768}{x^2 - 16} = 2$

Разделим обе части уравнения на $2$:
$\frac{884}{x^2 - 16} = 1$
Отсюда следует:
$x^2 - 16 = 884$
$x^2 = 884 + 16$
$x^2 = 900$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 30$ и $x_2 = -30$.
Так как скорость лодки не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x = 30$.

Проверим условие $x > 4$, чтобы скорость против течения была положительной: $30 > 4$, условие выполняется.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ