Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Рассмотрим данное уравнение: $x^{2} - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35$.

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе уравнение не имеет смысла в действительных числах. Запишем условие:
$6 - x \ge 0$
Отсюда получаем:
$x \le 6$.

Шаг 2. Упрощение уравнения.
Заметим, что слагаемое $\sqrt{6 - x}$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть его из обеих частей, однако важно помнить про найденное ограничение на $x$. Уравнение принимает вид:
$x^{2} - 2x = 35$.

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Перенесем число $35$ в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^{2} - 2x - 35 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$;
$x_2 = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Шаг 4. Проверка корней по ОДЗ.
Сравним полученные значения с условием $x \le 6$:
1) $x_1 = 7$. Число $7 > 6$, значит, этот корень не входит в ОДЗ (при $x = 7$ выражение под корнем становится отрицательным).
2) $x_2 = -5$. Число $-5 \le 6$, значит, этот корень является подходящим.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ