Задание №23 — Геометрия

#48139Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 11$ , $D C = 22$ , $A C = 27$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны ( $AB \parallel DC$ ).

2. При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ .
Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) являются вертикальными, а значит, они тоже равны: $\angle AMB = \angle CMD$ .

3. Из равенства двух углов следует, что треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

5. Пусть длина искомого отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию вся длина отрезка $AC = 27$ , то длина отрезка $AM$ может быть выражена как $AM = AC - MC = 27 - x$ .

6. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{11}{22} = \frac{27 - x}{x}$ .

7. Сократим дробь в левой части уравнения:
$\frac{1}{2} = \frac{27 - x}{x}$ .

8. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 2 \cdot (27 - x)$
$x = 54 - 2x$
$x + 2x = 54$
$3x = 54$
$x = 54 : 3$
$x = 18$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $18$ .

Ответ: 18

Источник: ФИПИ