Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $CED$. Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром в точке $E$, следовательно, отрезки $EC$ и $ED$ являются радиусами этой окружности. Значит, $EC = ED$, и треугольник $CED$ — равнобедренный с основанием $CD$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $CFD$. Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром в точке $F$, поэтому $FC = FD$ как радиусы этой окружности. Значит, треугольник $CFD$ также является равнобедренным с основанием $CD$.

3. Проведём прямую $EF$. По условию точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Пусть прямая $EF$ пересекает прямую $CD$ в некоторой точке $H$. Рассмотрим треугольники $ECF$ и $EDF$:
— $EC = ED$ (радиусы первой окружности);
— $FC = FD$ (радиусы второй окружности);
— сторона $EF$ — общая.
Следовательно, треугольники $ECF$ и $EDF$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

4. Из равенства треугольников $ECF$ и $EDF$ следует равенство соответствующих углов: $\angle CEF = \angle DEF$. Это означает, что луч $EH$ является биссектрисой угла $CED$ при вершине равнобедренного треугольника $CED$.

5. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Таким образом, $EH \perp CD$. Так как точки $E$, $F$ и $H$ лежат на одной прямой, то и вся прямая $EF$ перпендикулярна прямой $CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ