Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$ , причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $C D$ . Докажите,
что прямые $C D$ и $E F$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $CED$ . Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром в точке $E$ , следовательно, отрезки $EC$ и $ED$ являются радиусами этой окружности. Значит, $EC = ED$ , и треугольник $CED$ — равнобедренный с основанием $CD$ .

2. Аналогично рассмотрим треугольник $CFD$ . Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром в точке $F$ , поэтому $FC = FD$ как радиусы этой окружности. Значит, треугольник $CFD$ также является равнобедренным с основанием $CD$ .

3. Проведём прямую $EF$ . По условию точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$ . Пусть прямая $EF$ пересекает прямую $CD$ в некоторой точке $H$ . Рассмотрим треугольники $ECF$ и $EDF$ :
— $EC = ED$ (радиусы первой окружности);
— $FC = FD$ (радиусы второй окружности);
— сторона $EF$ — общая.
Следовательно, треугольники $ECF$ и $EDF$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

4. Из равенства треугольников $ECF$ и $EDF$ следует равенство соответствующих углов: $\angle CEF = \angle DEF$ . Это означает, что луч $EH$ является биссектрисой угла $CED$ при вершине равнобедренного треугольника $CED$ .

5. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Таким образом, $EH \perp CD$ . Так как точки $E$ , $F$ и $H$ лежат на одной прямой, то и вся прямая $EF$ перпендикулярна прямой $CD$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ