Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
- Задание №24№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите,
что прямые CD и EF перпендикулярны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим треугольник CED. Точки C и D лежат на окружности с центром в точке E, следовательно, отрезки EC и ED являются радиусами этой окружности. Значит, EC=ED, и треугольник CED — равнобедренный с основанием CD.
2. Аналогично рассмотрим треугольник CFD. Точки C и D лежат на окружности с центром в точке F, поэтому FC=FD как радиусы этой окружности. Значит, треугольник CFD также является равнобедренным с основанием CD.
3. Проведём прямую EF. По условию точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Пусть прямая EF пересекает прямую CD в некоторой точке H. Рассмотрим треугольники ECF и EDF:
— EC=ED (радиусы первой окружности);
— FC=FD (радиусы второй окружности);
— сторона EF — общая.
Следовательно, треугольники ECF и EDF равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
4. Из равенства треугольников ECF и EDF следует равенство соответствующих углов: ∠CEF=∠DEF. Это означает, что луч EH является биссектрисой угла CED при вершине равнобедренного треугольника CED.
5. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Таким образом, EH⊥CD. Так как точки E, F и H лежат на одной прямой, то и вся прямая EF перпендикулярна прямой CD.
Что и требовалось доказать.
Ответ: доказано.
Источник: ФИПИ