Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (x - 20)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение:

$(x^{2})^{2} = (x - 20)^{2}$

Если квадраты двух выражений равны ($a^{2} = b^{2}$), то либо сами выражения равны, либо они противоположны по знаку ($a = b$ или $a = -b$). Применим это правило к нашему уравнению. Оно распадается на два случая:

Случай 1: $x^{2} = x - 20$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} - x + 20 = 0$
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79$
Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x^{2} = -(x - 20)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^{2} = -x + 20$
Перенесём всё в левую часть:
$x^{2} + x - 20 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
$x_{1} = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $-5$ и $4$.

Ответ: -5; 4

Источник: ФИПИ